Сергей Кузнецов подписал двусторонний контракт с минским «Динамо» в июне 2021 года.

Карьеру нападающий начинал в родном Жлобине, где выступал за «Металлург-2». Затем играл за юношеские и молодежные сборные Беларуси, а также за основную команду жлобинского «Металлурга». В апреле 2019 года Кузнецов выступал за юниорскую сборную Беларуси на чемпионате мира U18 в Швеции. В пяти матчах турнира он набрал 3 (1+2) очка, а команда дошла до четвертьфинала. В 2020-м Сергей должен был стать капитаном U18 на очередном ЮЧМ, но форум не состоялся из-за пандемии.

В сезоне-2020/21 в Экстралиге за «волков» Кузнецов провел 29 матчей и набрал 17 (10+7) очков при показателе полезности «+4». Позднее он отправился в Северную Америку, где защищал цвета «Янгстауна» в USHL. В 28 матчах американской юниорской лиги форвард заработал 16 (8+8) баллов.

В сезоне-2021/22 нападающий дебютировал в КХЛ за минское «Динамо», однако часть чемпионата пропустил из-за травмы. В регулярном чемпионате он провел два матча, после чего вернулся в жлобинский «Металлург». Там Кузнецов ярко проявил себя в Кубке Президента: в 17 встречах он набрал 19 (9+10) очков. Этот результат стал рекордным для игроков младше 21 года за один розыгрыш плей-офф чемпионата Беларуси.

В дальнейшем Кузнецов продолжил выступать за минское «Динамо» в КХЛ. В сезоне-2024/25 он провел 52 матча и набрал 10 (5+5) очков. В чемпионате-2025/26 форвард существенно улучшил личную результативность: в 64 матчах он забросил 20 шайб и отдал 11 результативных передач, набрав 31 очко при показателе полезности «+9». Это стало его лучшим результатом за один сезон в КХЛ.

В июле 2025 года Кузнецов подписал новый контракт с минским «Динамо». Двустороннее соглашение рассчитано до 31 мая 2028 года.